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Geometrie Wie berechnet man die Diagonale eines Rechtecks?
Der mathematische Begriff "Diagonale" ist ein Begriff, der aus der Geometrie stammt. Damit werden Strecken bezeichnet, die zwischen den Eckpunkten von Körpern oder Flächen eine Verbindung herstellen. Wir erklären Ihnen anschaulich, was eine Diagonale ist und wie man sie berechnet.
Diagonale eines Rechtecks - anschaulich erklärt
Schneiden Sie aus kariertem Papier ein Rechteck beliebiger Größe aus. Messen Sie die Kantenlängen, die als a und b bezeichnet werden, aus und notieren Sie die Werte. Die Diagonalen sind die Verbindungslinien zwischen dem rechten unteren Eckpunkt und dem linken oberen sowie die Linie zwischen dem linken unteren Eckpunkt und dem rechten oberen. Knicken Sie Ihr ausgeschnittenes Rechteck entlang einer der Diagonalen und schneiden Sie es an der Falzlinie durch. Sie haben nun zwei Dreiecke. Da ein Rechteck vier rechte Winkel hat, handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke.
Vorüberlegungen zur Längenberechnung
Durch Ihr Experiment haben Sie nun gezeigt, dass die Diagonale des Rechtecks gleichzeitig die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Die Längen der beiden, dem rechten Winkel anliegenden Seiten sind bekannt. Es sind die beiden Kanten a und b. Messen Sie nun die Länge der dritten Seite, die Sie d für Diagonale nennen. Die Seite ist größer als die beiden anderen Seiten, d ist als größer als a und d ist auch größer als b. d ist aber kleiner als die Summe von a und b.
Ausführungen zu Pythagoras
Der griechische Gelehrte Pythagoras erkannte, dass in einem rechtwinkligen Dreieck ein konkreter Zusammenhang zwischen der Länge der drei Seiten besteht. Multiplizieren Sie a mit a und b mit b. Addieren Sie die beiden Ergebnisse. Berechnen Sie nun das Ergebnis der Multiplikation von d mit d. Dieses Ergebnis ist identisch mit der zuvor errechneten Summe. Kurz: a x a + b x b = d x d, aber a + b > d. Die gesuchte Diagonale ist die Wurzel aus der Summe der Quadratzahlen der beiden Rechteckseiten.
Als Quadratzahl wird das Ergebnis der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst bezeichnet: a x a = a2. Als Wurzel einer Zahl x wird die Antwort auf die Frage, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wurde, um x zu erhalten, bezeichnet.
So berechnet man die Diagonale - ein Beispiel
Dieses Beispiel verdeutlicht, wie man die Diagonale eines Rechtecks berechnet: Angenommen, das Rechteck hat die Kanten a = 3 cm und b = 4 cm. Die gemessen Diagonale beträgt d = 5 cm. Die Quadratzahlen sind a2 = 9 und b2 = 16. Die Summe der Quadratzahlen ist a2 + b2 = 9 + 16 = 25. Die Wurzel aus 25 ist 5, denn die Multiplikation von 5 mit 5 ergibt 25. Es gilt also: Die Diagonale ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Seitenlängen eines Rechtecks.
